Für welche Zahlenpaare ist das Potenzieren kommutativ ?

von DIETER KÖTTER Während für die erste und zweite Rechenstufe a+b = b+a bzw. a·b = b·a gilt, ist bei der dritten Rechenstufe, dem Potenzieren im allgemeinen a^b ¹ b^a . Jeder kennt jedoch das Beispiel 2⁴ = 4² . Man kann sich die Frage vorlegen, welche weiteren Zahlenpaare (x/y) es gibt, für die x^y = y^x gilt . Wir werden im Folgenden solche Zahlenpaare potenzkommutativ nennen.

Für x und y sollen beliebige komplexe Zahlen zugelassen sein (die Null ausgenommen, da sie von vornherein ausscheidet). Alle x,y Î C können dann in der Form

x = e^a,bzw. y = e^a+k (1)

dargestellt werden. Im Fall reeller und positiver (x,y) ist die Darstellung umkehrbar eindeutig und a,k Î R. Für Alle x,y Î C\R hat wegen der Beziehung e^z = e^z+2pi jedes x bzw. y unendlich viele Darstellungen.

1. Reelle Zahlenpaare

Für reelle x,y folgen aus x^y = y^x die äquivalenten Beziehungen x·lny = y·lnx, bzw.

( 2)

Für die gesuchten Zahlenpaare ist demnach das logarithmische Verhältnis gleich dem gewöhnlichen Verhältnis. Setzen wir (1) in (2) ein, so ergibt sich

, ,

und damit , sowie

. Mit erhalten wir

und

(3) Wir haben somit eine Parameterdarstellung für die gesuchten Zahlenpaare. Notwendig und hinreichend dafür, daß x^y = y^x gilt, ist, daß\ x und y Lösungen der Gl.(3) sind. Aus dieser Darstellung ersieht man, daß x und y reell und durch eindeutig bestimmt sind, wenn

.
Diese Lösungen werden wir zuerst untersuchen. Die Ausdrücke (3) sind aus der Analysis gut bekannt. Mit wachsendem b ist nämlich x monoton steigend und y monoton fallend, wobei

ist.

Wegen (3) gilt und .

Jedem x Î R⁺ mit 1 < x < e ist aufgrund der Monotonie und der Stetigkeit der Funktion (3) genau ein y Î R⁺ zugeordnet mit e < y < ¥. Da x = 2 die einzige ganze positive Zahl zwischen 1 und e ist, ergibt sich, daß (2/4) das einzige Paar natürlicher Zahlen ist, welches potenzkommutativ ist.

Die nächste Aufgabe soll sein, die Gesamtheit aller rationalen potenzkommutativen Zahlenpaare zu ermitteln. Es ergibt sich sofort, daß

für n Î N x(n) und y(n) immer rational sind. Die Tabelle zeigt die ersten Werte:

n	1	2	3	4	5	6
x(n)	2
y(n)	4

Es gilt also z.B. , was man durch elementare Umformung der Potenzen auch leicht nachrechnen kann.
Wir zeigen nun, daß das für beliebige x Î R⁺die einzigen rationalen Losungen sind. Wenn x und y beide rational sind, muß auch und damit b rational sein. Sei also , mit p,q Î N und teilerfremd. Es gilt dann

x kann nur rational sein, wenn , mit r,s Î N, r > s und r,s teilerfremd .
daraus folgt p+q = r^q ; p = s^q und r^q = s^q+q .
Sei r = s+k mit k Î N₀ , dann gilt ( s+k)^q = s^q+q·s^q-1·k+...+k^q = s^q+q .
Diese Beziehung ist nur erfüllbar, wenn q = 1 und k = 1 . Somit liefert b = p Î N alle rationalen Lösungen.

Wenn b eine nicht ganze rationale Zahl ist, erhält man für x und y algebraische irrationale Zahlen. Da jedem x Î R mit 0 < x < e , wie oben erläutert, genau ein y Î R mit y > e zugeordnet ist, gibt es natürlich Paare, bei denen die eine Zahl rational und die andere irrational ist. In diesem Fall muß wegen die Zahl b irrational sein.

Es sei noch erwähnt, daß es unter den Zahlenpaaren (x/y) genau eins gibt, bei welchem x und y im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen. Und zwar ist dies der Fall, wenn

bzw. b+1 = b² gilt.

Die positive Lösung ist bekanntlich die Verhältniszahl des goldenen Schnitts (der Major in bezug auf den Minor 1) . Die beiden potenzkommutativen Zahlen sind dann x_g = g^g = 2,17845...

und y_g = g^g+1 = 3,52481... .

Das Besondere dieser beiden Zahlen ist, daß sowohl ihr gewöhnliches Verhältnis als auch ihr logarithmisches Verhältnis gleich g ist und zwar zu jeder beliebigen Basis:

Als Folge dieser Beziehungen gelten eine Reihe merkwürdiger Gleichungen, von denen wir hier einige aufführen.

x·g = x^g = y ; _ylog x = g ; _glog y = g+1 ; _xlog g =

;_ylog g =

; (_xlog g)/(_ylog g) = g usw.
2. Komplexe Zahlenpaare (Fortsetzung folgt)

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